Kurt Gödel y la lógica
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| Kurt Godel |
¿Es posible encontrar contradicciones en las matemáticas? ¿Son consistentes? ¿Es demostrable cualquier proposición matemática?
A finales del siglo XIX Georg Cantor estaba intentando crear una rama de las matemáticas llamada teoría de conjuntos. Encontró, sin embargo, problemas como el concepto “conjunto de todos los conjuntos”. Un conjunto puede ser una serie de números (por ejemplo, 2,4,6,9). Este conjunto tiene muchos subconjuntos (por ejemplo, (2,4), o (4,9), etc). Por tanto hay más subconjuntos que elementos (como mínimo, cada elemento es un subconjunto). Pero si ahora buscamos el conjunto de todos los conjuntos (ahora el concepto elemento pasa a ser un conjunto), podemos afirmar que hay más subconjuntos que conjuntos (antes elementos), lo cual es imposible, pues los habíamos cogido todos.
David Hilbert siempre quiso demostrar que las matemáticas eran coherentes, consistentes y completas. En otras palabras, que no había paradojas y que cualquier problema era susceptible de ser resuelto. Quería eliminar todo este tipo de problemas del universo de las matemáticas.
El problema es que se topó de frente con Kurt Gödel, quizás la figura más importante que ha pasado por el Advanced Institute of Princeton sólo superado en fama por Albert Einstein. Fue el mayor lógico de su tiempo, probablemente, el mayor desde Aristóteles. En el año 1931 publicó un artículo en el que se afirmaba que lo que quería Hilbert no podía ser. Que hay cuestiones que surgen dentro de un sistema matemático que el propio sistema es incapaz de resolver. Para ello compuso una proposición que no podía ser demostrada. Hizo algo así como decir “esta proposición es indemostrable”, y demostró que era verdad.
Tardaron 13 años en hacerle profesor. Hasta el mismísimo John von Neumann preguntaba: ¿cómo podemos ser profesores nosotros cuando Gödel no lo es?
Lo divertido de esta historia es que debido a la guerra tuvo que huir a Estados Unidos y para obtener la ciudadanía tenía que pasar un examen oral. Gödel se dedicó a estudiar la Constitución de Estados Unidos y cuando un hombre de esta talla hace estas cosas pues pasó lo que tenía que pasar: que encontró contradicciones. No sólo eso: demostró que si se leía con suficiente atención, EEUU podía ser transformado legalmente en una dictadura. Los detalles se los comentó su amigo Oskar Morgenstern, quien le recomendó que no lo dijera en el examen.
A dicho examen le acompañó Morgenstern y Albert Einstein.
- “Hasta ahora, Ud, había sido ciudadano alemán” comenzó el funcionario.
- “Austríaco, no alemán”, corrigió Gödel.
- “Bueno, muy bien, una dictadura siniestra, menos mal que eso no es posible en América”, dijo el funcionario
- “¡Al contrario!”, volvió a corregir Gödel. “¡Yo sé perfectamente que sí puede ocurrir!”
Evidentemente, la diplomacia no era su fuerte. No obstante tanto Morgenstern como Einstein consiguieron contenerlo para que aprobara el examen y pudiera prestar juramento como ciudadano de los Estados Unidos.
Pero no todo fue un camino de rosas en su vida. Siempre retraído y tendente a la reclusión fue un hombre sumiso con la autoridad. El lógico inapreciable, el destructor implacable de la pureza de las matemáticas adoptó muchas veces esa actitud. Siempre argumentaba razones como “ellos deben saber por qué lo hacen” o “sabrán algo que no sepamos nosotros”. Incluso obedeció a sus padres cuando le querían impedir casarse con su futura esposa: una bailarina de cabaret. Tuvo, además, diferentes problemas con la personalidad así como depresiones nerviosas. Los que le conocían decían que fue inestable desde la niñez. Su psiquiatra llegó a decir que su pensamiento era paranoico, con ideas fijas sobre su enfermedad.
Ya al final de su vida pensaba que le querían envenenar incluso los médicos y se negó a aceptar tratamiento y comida salvo la que le daba su mujer. Cuando ésta tuvo que ingresar, Gödel se negó a recibir comida ni ayuda de ningún médico. Llegó a pesar alrededor de 40 kg. Murió oficialmente de “hambre e inanición causadas por una perturbación de la personalidad”. No tuvieron descendencia ni él ni su hermano.
Lástima de genes.
Fuente:
“¿Quién ocupó el despacho de Einstein?”, Ed Regis
A finales del siglo XIX Georg Cantor estaba intentando crear una rama de las matemáticas llamada teoría de conjuntos. Encontró, sin embargo, problemas como el concepto “conjunto de todos los conjuntos”. Un conjunto puede ser una serie de números (por ejemplo, 2,4,6,9). Este conjunto tiene muchos subconjuntos (por ejemplo, (2,4), o (4,9), etc). Por tanto hay más subconjuntos que elementos (como mínimo, cada elemento es un subconjunto). Pero si ahora buscamos el conjunto de todos los conjuntos (ahora el concepto elemento pasa a ser un conjunto), podemos afirmar que hay más subconjuntos que conjuntos (antes elementos), lo cual es imposible, pues los habíamos cogido todos.
David Hilbert siempre quiso demostrar que las matemáticas eran coherentes, consistentes y completas. En otras palabras, que no había paradojas y que cualquier problema era susceptible de ser resuelto. Quería eliminar todo este tipo de problemas del universo de las matemáticas.
El problema es que se topó de frente con Kurt Gödel, quizás la figura más importante que ha pasado por el Advanced Institute of Princeton sólo superado en fama por Albert Einstein. Fue el mayor lógico de su tiempo, probablemente, el mayor desde Aristóteles. En el año 1931 publicó un artículo en el que se afirmaba que lo que quería Hilbert no podía ser. Que hay cuestiones que surgen dentro de un sistema matemático que el propio sistema es incapaz de resolver. Para ello compuso una proposición que no podía ser demostrada. Hizo algo así como decir “esta proposición es indemostrable”, y demostró que era verdad.
Tardaron 13 años en hacerle profesor. Hasta el mismísimo John von Neumann preguntaba: ¿cómo podemos ser profesores nosotros cuando Gödel no lo es?
Lo divertido de esta historia es que debido a la guerra tuvo que huir a Estados Unidos y para obtener la ciudadanía tenía que pasar un examen oral. Gödel se dedicó a estudiar la Constitución de Estados Unidos y cuando un hombre de esta talla hace estas cosas pues pasó lo que tenía que pasar: que encontró contradicciones. No sólo eso: demostró que si se leía con suficiente atención, EEUU podía ser transformado legalmente en una dictadura. Los detalles se los comentó su amigo Oskar Morgenstern, quien le recomendó que no lo dijera en el examen.
A dicho examen le acompañó Morgenstern y Albert Einstein.
- “Hasta ahora, Ud, había sido ciudadano alemán” comenzó el funcionario.
- “Austríaco, no alemán”, corrigió Gödel.
- “Bueno, muy bien, una dictadura siniestra, menos mal que eso no es posible en América”, dijo el funcionario
- “¡Al contrario!”, volvió a corregir Gödel. “¡Yo sé perfectamente que sí puede ocurrir!”
Evidentemente, la diplomacia no era su fuerte. No obstante tanto Morgenstern como Einstein consiguieron contenerlo para que aprobara el examen y pudiera prestar juramento como ciudadano de los Estados Unidos.
Pero no todo fue un camino de rosas en su vida. Siempre retraído y tendente a la reclusión fue un hombre sumiso con la autoridad. El lógico inapreciable, el destructor implacable de la pureza de las matemáticas adoptó muchas veces esa actitud. Siempre argumentaba razones como “ellos deben saber por qué lo hacen” o “sabrán algo que no sepamos nosotros”. Incluso obedeció a sus padres cuando le querían impedir casarse con su futura esposa: una bailarina de cabaret. Tuvo, además, diferentes problemas con la personalidad así como depresiones nerviosas. Los que le conocían decían que fue inestable desde la niñez. Su psiquiatra llegó a decir que su pensamiento era paranoico, con ideas fijas sobre su enfermedad.
Ya al final de su vida pensaba que le querían envenenar incluso los médicos y se negó a aceptar tratamiento y comida salvo la que le daba su mujer. Cuando ésta tuvo que ingresar, Gödel se negó a recibir comida ni ayuda de ningún médico. Llegó a pesar alrededor de 40 kg. Murió oficialmente de “hambre e inanición causadas por una perturbación de la personalidad”. No tuvieron descendencia ni él ni su hermano.
Lástima de genes.
Fuente:
“¿Quién ocupó el despacho de Einstein?”, Ed Regis
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